Εισαγωγή
Στις ενότητες του μαθήματος “Εισαγωγή στη θεωρητική γεωμετρία” θα καλύψουμε τα ακόλουθα αντικείμενα της επιπεδομετρίας. Η θεωρητική στερεομετρία θα αποτελέσει ξεχωριστό αντικείμενο μελέτης.
- Εισαγωγή στη θεωρητική γεωμετρία και ορισμός των βασικών όρων και αξιωμάτων
- Αξιώματα: Αξίωμα της ευθείας, αξίωμα του σημείου, αξίωμα του επιπέδου
- Σημεία, γραμμές και ευθείες: Ορισμοί και αλληλεπιδράσεις
- Ταξινόμηση γραμμών: Οριζόντιες, κάθετες, διαγώνιες και κλίσεις
- Γωνίες: Ορισμοί, τύποι γωνιών και μέτρο γωνιών
- Ιδιότητες γωνιών: Ομοίως, αντίθετα, συμπληρωματικά και αλληλοσυμπληρωματικά
- Τρίγωνα: Ορισμός, τύποι τριγώνων και ιδιότητες
- Ισόπλευρα, ισόπλευρα, ψηλά και ορθοκέντρα τρίγωνα
- Παραλληλόγραμμα: Ορισμός, ιδιότητες και εφαρμογές
- Τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα και ρόμβοι
- Κύκλος: Ορισμός, κέντρο, ακτίνα και διάμετρος
- Ιδιότητες του κύκλου και εφαρμογές
- Παραλληλίες και περιθώρια: Εισαγωγή και ιδιότητες
- Εφαρμογές παραλληλιών και περιθωρίων στη γεωμετρία
- Ανάλογα σχήματα: Ορισμός, ιδιότητες και θεωρήματα
- Εφαρμογές των ανάλογων σχημάτων στη γεωμετρία
- Πολύγωνα: Ορισμός, τύποι πολυγώνων και ιδιότητες
- Ιδιότητες και χαρακτηριστικά των πολυγώνων
- Ειδικές γεωμετρικές καμπύλες: Ελλείψεις και υπερβολές
- Ιδιότητες και εφαρμογές ειδικών γεωμετρικών καμπυλών
Ευκλείδεια γεωμετρία και μη ευκλείδειες γεωμετρίες
Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα μαθηματικό σύστημα, το οποίο αποδίδεται στον αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη και περιγράφεται στο βιβλίο του γεωμετρίας με όνομα: τα Στοιχεία. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου αξιωμάτων και στην εξαγωγή πολλών προτάσεων (θεωρημάτων) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς, ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα. Τα Στοιχεία αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο αξιωματικό σύστημα αλλά και τα πρώτα παραδείγματα επίσημης απόδειξης και στη συνέχεια ασχολούνται με στερεομετρία τριών διαστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος των Στοιχείων αποτελούν κομμάτια της σημερινής άλγεβρας και θεωρίας αριθμών, γραμμένα σε γλώσσα γεωμετρίας.
Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια το επίθετο “Ευκλείδεια” γεωμετρία δεν ήταν απαραίτητο γιατί κανένα άλλο είδος γεωμετρίας δεν είχε δημιουργηθεί. Τα αξιώματα του Ευκλείδη διαισθητικά φαίνονταν τόσο προφανή (με πιθανή εξαίρεση το αξίωμα παραλληλίας) που κάθε θεώρημα που αποδεικνυόταν με αυτά κρινόταν σωστό με απόλυτη βεβαιότητα. Σήμερα παρ’ όλα αυτά υπάρχουν πολλές ακόμα γεωμετρίες μη Ευκλείδειες που ανακαλύφθηκαν κατά τις αρχές του 19ου αιώνα. Ο μεγάλος φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της θεωρίας της σχετικότητας ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο Ευκλείδειος χώρος είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το βαρυτικό πεδίο είναι αδύναμο.
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας που δουλεύει χωρίς τη χρήση συντεταγμένων. Αντίθετα αν θέλουμε να δουλέψουμε με συντεταγμένες καταφεύγουμε στην αναλυτική γεωμετρία.
Η διαφορική γεωμετρία (όπως για παράδειγμα η γεωμετρία Riemann) είναι ένας κλάδος των μαθηματικών χρησιμοποιεί τις τεχνικές του διαφορικού λογισμού, ολοκληρωτικού λογισμού, γραμμικής άλγεβρας και πολυγραμμικής άλγεβρας για να μελετήσει τα προβλήματα στη γεωμετρία. Η θεωρία των επίπεδων και καμπυλών του χώρου και επιφανειών στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τη διάρκεια του 18ου και του 19ου αιώνα.
Εισαγωγή στη θεωρητική γεωμετρία και ορισμός των βασικών όρων και αξιωμάτων
Στην ενότητα αυτή θα εξερευνήσουμε τους βασικούς όρους και αξιώματα που αποτελούν τη βάση αυτής της επιστήμης. Η γεωμετρία αποτελεί το πεδίο των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες και τις σχέσεις των σχημάτων και των αντικειμένων στον χώρο. Είναι μια σημαντική περιοχή των μαθηματικών της μαθηματικής που έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς της καθημερινής ζωής και της επιστήμης.
Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό των βασικών όρων της γεωμετρίας. Πρώτον, ένα σημείο είναι η πιο απλή μονάδα της γεωμετρίας και συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα, όπως το Α. Τα σημεία αναπαριστούν τη θέση στον χώρο χωρίς διαστάσεις ή μέγεθος.
Στη συνέχεια, η ευθεία γραμμή είναι μια ευθεία έκταση που διατείνεται απεριόριστα σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Συμβολίζεται με δύο σημεία που ανήκουν σε αυτήν, όπως οι βασικοί κωδικοί A και B για να συμβολίσουμε τη γραμμή AB.
Έπειτα, το ευθύγραμμο τμήμα είναι μια ευθεία έκταση που περιορίζεται από δύο σημεία, τα οποία ονομάζουμε άκρα. Τα άκρα συμβολίζονται με δύο κωδικούς, όπως το A και το B για να συμβολίσουμε το ευθύγραμμο τμήμα AB.
Το τρίγωνο είναι ένα από τα βασικά σχήματα στην γεωμετρία. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές. Ένα τρίγωνο με κορυφές A,B,C συμβολίζεται με △ A B C 
. Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την Τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία οποιαδήποτε τρία σημεία, μη συνευθειακά, καθορίζουν ένα μοναδικό τρίγωνο και ένα μοναδικό επίπεδο (δηλαδή ένα δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο).
Το ορθογώνιο είναι ένα τετράγωνο σχήμα με τέσσερις γωνίες των 90 μοιρών και τις απέναντι πλευρές του ίσες μεταξύ τους. Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη γραμμή με όλα τα σημεία της να έχουν ίση απόσταση από ένα κεντρικό σημείο. Το κεντρικό σημείο του κύκλου ονομάζεται κέντρο του κύκλου, και η απόσταση από το κέντρο στο περιθώριο του κύκλου ονομάζεται ακτίνα.
Τα βασικά εργαλεία της θεωρητικής γεωμετρίας είναι ο κανόνας (μη αριθμημένος χάρακας) και ο διαβήτης. Όλες οι κατασκευές και τα σχήματα στην θεωρητική γεωμετρία μπορούν να δημιουργηθούν με χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη.
Ας ασκηθούμε λίγο για να εδραιώσουμε την κατανόηση των όρων της θεωρητικής γεωμετρίας που προαναφέρθηκαν. Ας προχωρήσουμε σε μια ασκηση:
Άσκηση 1: Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με τη βοήθεια ενός κανόνα και ενός προσχεδίου. Προσδιορίστε τις πλευρές και τις γωνίες του ορθογωνίου. Σκέφτείτε πώς θα χρησιμοποιήσετε τον ορισμό των βασικών όρων που μόλις περιγράφηκαν για να λύσετε αυτήν την άσκηση. Μπορείτε να συνεχίσετε το μάθημα και να επανέλθετε σε αυτήν αργότερα.
Αξιώματα: Αξίωμα της ευθείας, αξίωμα του σημείου, αξίωμα του επιπέδου
Στην παρούσα ενότητα θα εξερευνήσουμε τα αξιώματα της θεωρητικής γεωμετρίας, τα πρωταρχικά θεωρητικά θεμέλια πάνω στα οποία βασίζεται η γεωμετρία και τα οποία μας επιτρέπουν να κατανοήσουμε τις βασικές ιδέες και έννοιες αυτού του μαθήματος. Ειδικότερα, θα εξετάσουμε το αξίωμα της ευθείας, το αξίωμα του σημείου και το αξίωμα του επιπέδου.
Αξίωμα της Ευθείας
Το αξίωμα της ευθείας αποτελεί ένα από τα βασικότερα αξιώματα της γεωμετρίας. Δηλώνει ότι διαγράφοντας δύο σημεία, υπάρχει μόνο μία ευθεία που τα ενώνει και είναι ευθεία σε κάθε σημείο της. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν καμπύλες στον χώρο, αλλά μόνο ευθείες. Αυτό το αξίωμα μας επιτρέπει να αντιλαμβανόμαστε τις ευθείες ως βασικά στοιχεία και να αναπτύσσουμε πολλές από τις θεωρήσεις και τις ιδιότητες που ακολουθούν.
Άσκηση
Σχεδιάστε δύο σημεία A και B σε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων και χρησιμοποιήστε το αξίωμα της ευθείας για να δημιουργήσετε την ευθεία που περνά από αυτά τα δύο σημεία.
Αξίωμα του Σημείου
Το αξίωμα του σημείου αναφέρεται στη δυνατότητα να επιλέγουμε οποιοδήποτε σημείο στον χώρο. Σε άλλα λόγια, για κάθε σημείο που μπορούμε να φανταστούμε, μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε με ένα σημείο στον πραγματικό χώρο. Αυτό το αξίωμα μας επιτρέπει να ορίζουμε, να μελετούμε και να εξετάζουμε ιδιότητες και σχέσεις μεταξύ σημείων.
Άσκηση
Επιλέξτε ένα σημείο Ρ και σχεδιάστε την ευθεία που περνά από αυτό το σημείο, χρησιμοποιώντας το αξίωμα του σημείου.
Αξίωμα του Επιπέδου
Το αξίωμα του επιπέδου αφορά την ύπαρξη ενός επιπέδου που περιέχει οποιεσδήποτε τρία μη συνευθειακές σημεία. Δηλαδή, αν επιλέξουμε τρία μη συνευθειακά σημεία, τότε υπάρχει ένα επίπεδο που περιέχει όλα αυτά τα σημεία. Αυτό το αξίωμα μας επιτρέπει να αναλύουμε τις σχέσεις και τις ιδιότητες των σημείων και των ευθειών που ανήκουν σε ένα επίπεδο.
Άσκηση
Επιλέξτε τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ και σχεδιάστε το επίπεδο που περιέχει αυτά τα σημεία, χρησιμοποιώντας το αξίωμα του επιπέδου.
Επιπλέον Ασκήσεις
- Σχεδιάστε μία ευθεία που να περνά από δύο διαφορετικά σημεία.
- Επιλέξτε ένα τρίγωνο και σχεδιάστε το επίπεδο που το περιέχει.
- Επιλέξτε τέσσερα σημεία και αποφασίστε αν αυτά τα σημεία μπορούν να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.
Πηγές
Το παρόν μάθημα δημιουργήθηκε με την εν μέρει χρήση του μοντέλου τεχνητής νοημοσύνης (generative AI) ChatGPT 4.
